Matemática Financeira – para concursos ou para uso pessoal


1) Juros e descontos


























JURO

DESCONTO

SIMPLES COMERCIAL \begin{equation} – \end{equation} \begin{equation} V_P = V_F \cdot (1-i \cdot n) \end{equation}
SIMPLES RACIONAL \begin{equation} V_F = V_P \cdot (1+i \cdot n) \end{equation} \begin{equation} V_P = {V_F \over 1+i \cdot n} \end{equation}
COMPOSTO \begin{equation} V_F = V_P \cdot (1+i)^n \end{equation} \begin{equation} V_P = {V_F \over (1+i)^n} \end{equation}
CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA \begin{equation} V_F=V_P \cdot e^{rt} \end{equation} \begin{equation} V_P=V_F \cdot e^{-rt} \end{equation}

Observações

  • $V_P$ é o valor presente e $V_F$ o valor futuro
  • $i$ é a taxa de juros e $n$ o número de períodos (dias, meses, anos, etc.)
  • Nas operações de desconto, o valor do desconto é dado por $V_F-V_P$
  • O desconto simples racional também é chamado de “por dentro”. O desconto simples comercial também é chamado de “bancário” ou “por fora” (lembrar de CBF).
  • Operações de equivalência de capital são resolvidas com o cálculo do desconto. Equivalência composta de capitais é sempre resolvida por desconto composto, e não depende da data focal.
  • Na capitalização contínua, a taxa de juros continuamente composta $r=\ln (1+i)$, sendo que $i$ deve estar na mesma unidade que o tempo $t$. Ao contrário de $i$, $r$ pode ser somado.
  • 2) Rendas Certas, ou acumulação de capital de uma série de pagamentos

  • depósitos mensais de $p$
  • juros $i$
  • número de meses $n$
  • valor final $F$
  • 2.1) Antecipado (com depósito em t = 0 e sem depósito em t = n)

    \begin{equation} F = p \cdot (1+i)^n + p \cdot (1+i)^{n-1} + … + p \cdot (1+i) \end{equation}
    \begin{equation} F = p \cdot {(1+i)^{n+1} – (1+i) \over i} \end{equation}

    2.2) Postecipado (sem depósito em t = 0 e com depósito em t = n)

    \begin{equation} F = p \cdot (1+i)^{n-1} + p \cdot (1+i)^{n-2} + … + p \end{equation}
    \begin{equation} F = p \cdot {(1+i)^n – 1 \over i} \end{equation}

    A partir daí podemos definir o fator de rendas certas:

    \begin{equation} s_{n \neg i} = { (1+i)^n – 1 \over i} \end{equation}

    3) Amortização, ou série uniforme de prestações uniformes, ou sistema francês de amortização, ou tabela price

  • juros $i$
  • número de parcelas $n$
  • valor total $T$
  • prestação $p$
  • 3.1) Antecipado (há pagamento de parcela no ato)

    \begin{equation} T = p + {p \over (1+i)} + {p \over (1+i)^2} + … + {p \over (1+i)^{n-1}} \end{equation}

    \begin{equation} T = p \cdot {(1+i)^n – 1 \over i \cdot (1+i)^{n-1}} \end{equation}

    \begin{equation} p = T \cdot {i \cdot (1+i)^{n-1} \over (1+i)^n – 1} \end{equation}

    Observação: se $n \rightarrow \infty$, temos uma perpetuidade, e nesse caso,

    \begin{equation} T = {p \cdot (1+i) \over i} \end{equation}

    3.2) Postecipado (sem entrada)

    \begin{equation} T = {p \over (1+i)} + {p \over (1+i)^2} + … + {p \over (1+i)^n} \end{equation}

    \begin{equation} T = p \cdot {(1+i)^n – 1 \over i \cdot (1+i)^n} \end{equation}

    \begin{equation} p = T \cdot {i \cdot (1+i)^n \over (1+i)^n – 1} \end{equation}

    A partir daí podemos definir o fator de amortização:

    \begin{equation} a_{n \neg i} = {(1+i)^n – 1 \over i \cdot (1+i)^n} \end{equation}

    Observação: se $n \rightarrow \infty$, temos uma perpetuidade, e nesse caso,

    \begin{equation} T = {p \over i} \end{equation}

    4) Sistema de Amortização Constante (SAC)

    A amortização é constante em todos os períodos e igual ao valor total $T$ dividido pelo número de períodos $n$. O restante de cada prestação é o pagamento dos juros aplicados sobre o saldo devedor no período. A parcela no período $j$ é dada por:

    \begin{equation} p_j = {T \over n} + i \cdot \left( {n – j + 1 \over n} \right) \cdot T \end{equation}

    Na fórmula acima, o primeiro termo do lado direito é a cota de amortização (sempre igual), e o segundo termo são os juros (decrescentes com o tempo) Embora a expressão pareça complicada, o valor dos juros nada mais é que a taxa $i$ multiplicada pelo saldo devedor no período, que vale $T$ quando $j=1$ e vai diminuindo nas prestações seguintes.

    Limite de Chandrasekhar para a massa de uma anã branca


    Uma anã branca é o próximo estágio de uma estrela como o sol, quando o tamanho diminui e a densidade aumenta. Se a sua massa for muito grande, a estrela vai colapsar sobre si mesma por atração gravitacional, fazendo com que os elétrons dos átomos colapsem nos núcleos e formem nêutrons – o que caracteriza uma estrela de nêutrons. Mas quanto precisa ser a massa da anã branca para este fenômeno ocorrer?

    Modelando a anã branca como um gás de férmions relativístico com N partículas (que é o caso quando ela está no limite de colapsar), sua energia será

    \begin{equation} E_f = {\hbar c N^{4/3} \over R} \end{equation}

    Ao mesmo tempo, sua energia de ligação gravitacional (que é a energia necessária para levar todas as partículas até o infinito) será aproximadamente

    \begin{equation} E_g \approx – {G M^2 \over R} = – {G (N m_p)^2 \over R} \end{equation}

    onde $m_p$ é a massa das partículas antes da degeneração, por exemplo prótons.

    Se $|E_g| > |E_f|$, a energia gravitacional será mais forte que a energia que liga os elétrons aos átomos, e haverá a chamada degeneração de nêutrons (a energia de Fermi dos elétrons aumenta ao ponto em que é energeticamente favorável para eles combinarem-se com prótons para produzir nêutrons via decaimento beta-inverso). Combinando as duas equações, isso acontece quando o número de partículas é

    \begin{equation} N = \left( {\hbar c \over G m^2_p} \right) ^{3/2} \end{equation}

    A massa da estrela é $M_c=N m_p$. Substitundo

    \begin{equation} M_c = {1 \over m^2_p} \left( \hbar c \over G \right)^{3/2} \end{equation}

    que é chamada de limite de Chandrasekhar, a massa a partir da qual a anã branca colapsa numa estrela de nêutrons. Calculando para os valores acima, $M_c=1,8M_\odot$ (onde $M_\odot$ é a massa do Sol). Se fosse feito o cálculo preciso, considerando detalhes omitidos aqui, obter-se-ia $M_c=1,4M_\odot$.

    Analogamente, o limite Tolman-Oppenheimer-Volkoff indica a massa a partir da qual a estrela de nêutrons colapsa num buraco negro, e seu valor é estimado entre 1,5 e 3 massas solares.

    Referências

    http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=240427

    http://en.wikipedia.org/wiki/Degenerate_matter#Neutron_degeneracy

    http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy

    Dilatação do tempo prevista pela Relatividade Geral


    Existe uma solução exata para as equações da Relatividade Geral, que é conhecida como métrica de Schwarzschild, e vale para uma massa esfericamente simétrica sem rotação:

    \begin{equation} ds^2 = \left( 1 – {2Gm \over c^2 r} \right) ^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d \phi^2 + -c^2 \left(1 – {2Gm \over c^2 r} \right) dt^2 \label{metrica3} \end{equation}

    Para calcular a dilatação do tempo causada pela presença de uma massa, usa-se $ds^2 \equiv -c^2 d\tau^2$. O termo $\tau$ é o tempo próprio, que significa o tempo transcorrido entre dois eventos medido por um relógio que passa por ambos os eventos (que é diferente do tempo medido por um relógio inercial, não acelerado). Se o relógio não se mover, podemos assumir que $dr = d \theta = d \phi = 0$. Assim, de acordo com a métrica de Schwarzschild, a equação para o tempo próprio fica

    \begin{equation} d\tau = \sqrt{1 – {2 G M \over c^2 r}} dt \end{equation}

    Para um relógio na superfície da Terra ($r = 6371~\mathrm{km}$)

    \begin{equation} d\tau = 0,9999999992937 ~ dt \end{equation}

    Para um relógio num satélite de GPS ($r = 26371~\mathrm{km}$)

    \begin{equation} d\tau = 0,9999999998294 ~ dt \end{equation}

    Ou seja, ambos os relógios acumulam menos “tiques” (e o tempo passa mais devagar) em comparação a um relógio situado num referencial inercial, longe da influência da massa da Terra. Em um período de 24 horas, o relógio do satélite de GPS terá $45~\mu s$ a mais que o relógio da Terra. Portanto, os relógios do GPS precisam sofrer uma correção devido a efeitos da Relatividade Geral, pois eles devem operar com precisão de $\eta s$.